Вопросы по философии математики
alexeyburov • •
Дорогие друзья, не упустим возможность, предложенную Женей (Evgeny Dantsin), пораспрашивать его по темам философии математики. Ниже я перечисляю те вопросы, что особенно интересны мне. Каждый из вас приглашается дополнить мой список.
Все мои вопросы связаны с теоремой Гёделя (ТГ), говорящей, что для любой достаточно богатой формальной системы существуют недоказуемые утверждения.
- Распространяется ли ТГ на арифметику и геометрию Евклида?
Можно ли хотя бы иногда определить, что анализируемое утверждение является недоказуемым?
Если да, то можно ли такое утверждение принять за дополнительную аксиому? Не получится ли тогда бесконечный набор аксиом?
На основании ТГ Роджер Пенроуз заключает о том, что человеческий ум не может быть сведен к выполнению алгоритмов. Во всяком случае, решение математических задач не может быть сведено к алгоритмам. Нельзя ли пояснить, каким образом одно влечет другое?
Как современная математика обходится с проблемами самореферентности, парадоксом лжеца, соответствующими парадоксами теории множеств?
Каковы аксиомы того раздела математики, на основе которых Гёдель доказал свою теорему? Что это за раздел вообще?
Можно ли, и в каком смысле, говорить о единстве математики? Возможна ли Единая Математика Всего?
Спасибо!